一、课题组成员一起阅读了赵丽君撰写的《因倍数概念教学中数形结合的妙用 》，学习借鉴如何利用数形结合思想进行概念教学。 1.借“形”引出概念 倍数与因数是定义两个自然数的倍率关系的，这种关系可以用乘法算式直观反映出来。在自然数的乘法算式中，乘数和积就是因倍数关系的直观体现。可见，这部分新知完全可以脱离乘法算式，只要乘法算式中的各数字为非 0 自然数即可。仅仅依靠这种形式上的关联还不够，运动会开幕式体育代表团队形的情境，不但可以激发学生的学习动机，而且能借助图形的直观性从另一个维度呈现因倍数的关系：行数和列数是因数，队列总人数为倍数，而且它们是相互依存的。这样一来，可以观察出总人数就是行数和列数的整倍数，因为行数和列数以及总人数必须全部是整数。之后再来对照计算总人数的乘法算式，三管齐下，因倍数的概念就会非常清晰通透。 2.用“形”抽象概念 自主探究环节中的“圈画、列式、陈述”，其目的在于构建因倍数的几何模型，即在点格图中根据行数和列数来反映因数，用总数来反映倍数。借助这个几何模型，它们之间的数量关系也呼之欲出——行数乘以列数等于总数，这就意味着因数乘以因数等于倍数。“神算子”的作品中，有只有一行的，也有列数大于行数的。这既提供了常规例子，又展示了特例——行数为 1。在此基础上，学生抽象出字母表达式，就顺理成章了。显然，教学片段 1 的情境以及教学片段 2 的“圈画、列式与陈述”，只是从情境、图形、语言和操作几个方面让学生理解概念，最后抽象出的字母表达式才是终极形式，字母表达式才是概念内涵的核心。那么，大费周章地运用这么多表征来让学生理解概念有无必要？曾有美国权威学者采用图 6 揭示概念的发展过程：“实物操作只是展示数学概念的初级形态，图像、语言、表达式才能起到抽象作用，并且深刻揭示概念内涵。”这一观点就是概念教学的灯塔：在教学中，任何一种表征都不应被忽略，各种表征应该串联起来形成合力，帮助学生学会根据客观需要选用合适的表征来理解。 3.用“形”助理解规定 “倍数”是什么？要向学生说清这一概 念，不能仅靠范例，因为范例只是一面之词，容易让学生“一叶障目不见泰山”。如果此时与相近易混的概念“倍”做一番比较，那么学生的眼界和思路将会更加宽阔，看问题的角度也会更全，分析问题时会更全面。通过比较辨析，学生弄清二者之间的异同点。相同点是都表示两数的倍率关系，都可以用乘除法算式表示。不同点仅仅在于称呼和取值范围的不同——“倍”只要不为 0，所有数型都可，因为这是由除法的性质决定的，除法算式的结果可以是整数、分数、小数等各种形式，“倍”就是除法算式中衍生的一个概念，除法算式才是“倍”这个概念的 母体；而“倍数”的概念则是由特殊的乘法算式决定的，特殊之处就在于是计算圈画出的点子图的总数时，行数、列数必须都是整数，所以这里的数只能是非0自然数。通过对比辨析，学生调用在点子图中积累的直观经验论述了因倍数概念的内涵本质。在此，借助直观的点子图还有另一好处，那就是让“0除外的自然数”这一规定显得合乎情理。 4.依“形”建构模型 “圈画点阵图，并尝试找出7的倍数”的活动，一方面，让学生体验找倍数的直观方法，进一步领悟倍数的概念；另一方面，在这种直观操作中，找倍数的方法也不言自明：一个数就是每一行的点数，倍数就是在不同行数下的总点数。通过圈画，学生会发现，求一个数的倍数，就是将这个数量不断复制，复制一次就有一个倍数出现，倍数可以无限大，这映射到乘法算式里就是将目标数从小到大不断连续乘以自然数——从这个数的 1 倍开始找起，接着找它的 2 倍、3 倍……同时，倍数的特征也一览无余：一个数的最小倍数就是它自己，倍数可以无穷大，相邻两个倍数的相差值是它的本身。 |
