数形结合教学中提升小学生数学思维品质的实践研究
为进一步厘清数形结合教学中提升小学生数学思维品质的实践研究，2023年5月15日，在课题主持人胡建鑫老师的组织安排下，课题组成员相聚在三楼合班教室，一起听了张晶晶老师执教的二年级《角的初步认识》这一节课，根据《二年级图形的认识与测量教学中培养小学生数学思维品质的策略研究》课堂观察量表进行了明确的分工，课后一起对课堂观察量表当中的指标进行了交流，也对本节课进行了的研讨。
南郊小学课题研究课：《角的初步认识》
执教者：太仓市科教新城南郊小学，张晶晶；上课时间： 2023年5月15日；
上课班级：太仓市科教新城南郊小学五（3）
一、课题简介
1.课题基本信息：
《数形结合教学中提升小学生数学思维品质的实践研究》，太仓市“十四•五”教育科学规划立项重点课题；立项时间：2022年9月；编号：ZX2022001；主持人：胡建鑫；单位：太仓市科教新城南郊小学。
2.核心概念界定：
数形结合：
数形结合是一种数学思想方法，是把抽象的数学语言、数量关系与直观的图形、位置关系结合起来，即通过抽象思维与形象思维的结合，能将抽象的问题具体化、复杂的问题简单化、模糊的问题清晰化，从而实现优化解题途径的目的。它包括“以形助数”“以数解形”和“数形互助”三个方面。它具有形象性、直观性和快捷性。
数学思维品质：
数学思维品质是学生数学思维能力的体现，主要是思维的深刻性、思维的广阔性、思维的灵活性、思维的独创性、思维的敏捷性、思维的批判性六个方面。学生数学思维活动的好坏与思维的品质有着直接的关系，因此数学思维品质对数学教育有着特殊的重要意义，数学思维品质确定了学生思维的质量，影响着学生思维的结果。
数形结合教学下提升小学生数学思维品质的实践研究：
在小学数学课堂中利用数形结合下“以形助数”“以数解形”“数形互助”的思想方法进行数学教学，在教学活动中提升学生思维的灵活性、敏捷性、批判性、独创性、严谨性、深刻性等思维品质。
3.研究目标：
通过本课题的研究，对“数形结合”思想有更深入的认识，并将其应用于数学教学中，探究数形结合思想教学下提升小学生数学思维品质的教学策略，打造充满活力的幸福数学课堂，提升学生的核心素养。具体研究目标有：
（1）形成数形结合思想及数学思维品质的理性认识
（2）形成小学数学教学中教师数形结合思想的渗透现状以及学生数学思维品质现状的情况分析报告。
（3）形成数形结合教学下提升小学生数学思维品质的课例集。
（4）形成数形结合教学下提升小学生数学思维品质的策略。
4.研究主要内容：
（1）对数形结合和小学生数学思维品质提升的理性认识
对数形结合、数学思维品质，形成数形结合教学下提升小学生数学思维品质进行文献研究，对相关理论基础进行论述，参考他人的调查数据，借鉴在教育领域内的研究方法。梳理和总结前人的研究获得一些关于数形结合思想方法在教学中的意义与实施方法和提升学生数学思维品质的策略。
（2）小学数学教学中数形结合思想的渗透现状及学生数学思维品质现状的调查研究
通过设计《数形结合思想在小学数学教学中渗透现状的问卷调查》和《小学生数学学习情况的调查问卷》对教师和学生关于数形结合的渗透和学生数学思维品质现状进行调查研究，给本研究提供现实依据。
（3）数形结合教学中提升小学生思维品质的课例研究
结合教材内容，采用以形助数，以数解形，数形互助等数形结合的教学方式开展课例研究，将数学概念、定义和定理与实际图形结合在一起，直观形象的学习和理解，解决数学问题，提高学生的思维能力。
（4）数形结合教学下提升学生数学思维品质策略的研究
对本研究得到的案例研究，对数形结合思想的落实、渗透现状如何、还存在哪些问题、学生数学思维品质现状等进行分析，提出教学策略整合归纳出数形结合提升学生数学思维品质的策略，并对小学教师给出针对性的建议，为推动小学数学教学质量的提升贡献一份力量。
二、研究课说明
1.研究主题：二年级图形的认识与测量教学中培养小学生数学思维品质的策略研究
2.需解决的问题：
（1）以形助数感知角的特征、以形助数形成表象。
（2）在图形的认识与测量教学中培养学生数学思维的批判性和灵活性。
（3）通过课例研究，提炼出利用数形结合在角的初步认识教学中培养学生数学思维品质的策略。
3.本节课设计意图：
《角的初步认识》是苏教版二年级下册第七单元的内容，本课在学生已经认识了长方形、正方形、三角形的基础上进行教学，低年级学生抽象思维发展得不够充分，常常依赖于生活经验，依赖于直觉观察而获得表象。所以要让学生初步认识角，必须采用学生喜爱的操作活动进行教学，如本课在活动设计时，通过找角、识角、辨角、画角、创造角、比角等形式多样的实践活动开展教学，把学生的各种感官利用起来，调动学生积极性，培养学生思维灵活性，在课堂中发展学生思维批判性，切实掌握本课重点内容，掌握角的相关知识，帮助学生建立正确、清晰的角的表象。
4.理论、理念说明：
基于本研究主题和上课课题，以及查阅的相关文献，对需要观察的“二年级图形的认识与测量教学中培养小学生数学思维品质的策略研究”主题形成了如下认识：
数形结合就是通过数与形的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法。数学是研究现实世界的数量关系与空间形式的科学，数与形之间是既对立又统一的关系，在一定的条件下可以相互转化。这里的“数”指数学术语、数学符号、数学公式及用语言文字表现的数量信息和呈现方式；“形”不仅是指几何图形，还包括各类图像、实物类教学资源等形象资料，以及用这些材料呈现数学信息的方式。数形结合包含以形助数和以数解形和数形互助三个方面。
基于小学数学教学实际，数形结合思想的应用对教学高效开展具有积极影响。结合小学数学教学的特点，采用数形结合，不但能够帮助学生精准地抓住数学知识核心，同时也进一步强化了学生自主学习能力。因此，有效渗透数形结合思想，是小学数学教学的重要选择，也是小学数学教学未来发展的重要方向。基于这一特点，在小学数学教学中，应探讨数形结合的优势和具体应用，为开展良好的教学提供有力支持。
在开展小学数学教学过程中，想要有效提升数学开展的效果，教师需要基于科学的教学思想和模式进行思考。充分考虑到小学生阶段所具有的特点和认知能力，教师在开展教学时，通过将数学知识和具象形态良好地结合到一起，让学生能够实现对知识的充分学习。数学概念的表达方式具有一定的抽象性和概括性特点，小学生想要实现充分地理解需要教师的帮助，教师这时加强对数形结合思想的渗透，促使学生在具象形式的帮助下，确保抽象知识的内化，通过数形结合的良好落实，概念学习得到极大的保障。
小学阶段，数学知识并非没有根源，其在理论和公式上难以和生活良好的结合，但是其只是将生活普遍的本质提炼出来，形成相应的规律。基于对数形结合思想的渗透，教师应该在数学教学中有效地融入生活元素，让学生能够很好地接受，从而降低数学所具有的难度。教师在进行知识点讲述时，可以为学生举出生活中的实际例子，让学生更好地理解，增强学生对该知识点的熟悉度，进而学生也会有意识地将数学知识点落实到生活当中。教师还可以有效运用多媒体技术，加强数学知识和生活实际的联系，并将其很好地呈现给学生，促使学生实现充分的理解。由此，小学生了解到角在生活中的作用，以及学习的价值。
5.研究方法：课堂观察法、课例研究法
教学过程
1.活动一：感知概念，培养思维的批判性
认识角的特征
识角
（1）老师给大家带来了三样物品，请看。
提问：在这三样物品上你找到角了吗？谁能上来指一指。
预设：学生在指角时往往容易只指出一个点
及时指导学生进行正确地指角。
谁还能指出不同的角？
一名学生上台指角，其他同学评价是否正确，并一起伸出手指跟着指一指。
老师把这些角都从图上取下来，看，他们长得一样吗？但是它们都是角。说明肯定有相同的地方。请大家仔细观察，你能发现它们有什么共同特征吗？
明确：都有一个尖尖的地方，叫角的顶点（板书）；还有两条线，叫角的两条边（板书）。
说明：表示角时，我们通常是在角的里面画一条短短的弧线，这条短短的弧线是角的标记。拿出右手食指，跟着老师一起来标记这些角。
（设计意图：教材编排从生活情境引入角并展开教学，角作为一个抽象图形，和学生原本头脑中的墙角、桌角、衣角等不尽相同，这里我们要认识的角是平面图形中的角，打破孩子原有的错误认知，角并不是一个点或一块面，引导学生学会正确的指角方式，初步感受角的本质，一个顶点和两条边。）
辨角
刚才我们找了角并且认识了角，接下来你敢接受我的挑战吗？
（1）下面图形哪些是角，哪些不是角？
学生说明判断依据。
小结角的特征：角有一个顶点和两条直直的边。（板书：直直的）
（2）下面的图形各有几个角。
请学生说说是怎么数的。
拓展：难度升级，现在你还能准确数出有多少个角吗？试一试吧。
完成后学生交流并说说怎样数才能不重复不遗漏（按一定的顺序）
（设计意图：认识了数学上的角，运用多学知识理性的判断角、准确地数角，进一步丰富学生对角的基本特征的认识和体验。）
补充：在学生初步感知角的基础上，教师可以提出“生活中很多物体表面上都有角，你能在生活中找一找吗?”这一具有挑战性的问题激发了学生的探究欲望，同时辅以现代化教学手段，很自然地把学生在生活中认识的具体的角，过渡到抽象的数学上的角，为学生形成角的表象打下扎实的基础。
画角
看来同学们已经掌握了数学上怎样的图形称作角了，那么你们会自己画一个角吗？闭上眼睛，想一想应该怎样画？
介绍如何画角
学生画角（错例反馈：边不直、没交点等）
追问：同学们画的这些角有什么不一样？
预设：角的方向不一样、大小不一样。
（板书：角有大小）
（设计意图：动画画角的正面引导以及学生作品的负面反馈，让学生在正面引导和负面反馈中掌握画角的方法，巩固角的构成，同时发展学生倾听、表达、质疑和思辨的能力，通过追问这些角有什么不一样，让学生感受到角有大小，为后面的比角奠定基础。）
2.活动二：形成概念，培养思维的灵活性
区分角的大小
创造角
要求：（1）做一做：请你用小棒做一个角。
比一比：跟同桌比比你们的角有什么不一样。
预设：由于小棒长度都相同，比较发现角有大有小
你是怎么判断的
明确：比较两个大小不明显的角时，突出把两个角的顶点和一条边分别重合，再看另一条边的位置。
在比一比的活动中，给学生准备长度不同的小棒来做活动角，就能产生不同的比较情况，如：
第一种：做出来的两个活动角，边的长度相同，但角的大小不同。那么学生在比较的过程中，就能发现角的大小与两条边张开的程度有关，边张开的越大，角就越大，边张开的越小，角就越小；
第二种：做出来的两个活动角，角的大小相同，但边的长度不同。在这里，有学生可能会错误得认为边长长的角更大，此时可以顺势做个比较，如果角的大小与边的长度有关，那是不是边长越长角就越大，搭出一个边长很长但角度很小的角来对比，学生发现问题，进行思维碰撞和分析，发现角的大小只和两条边张开的程度有关，和边的长度无关。
第三种：做出来的两个活动角，角的大小不同，边的长度也不同。此时学生已经有了一定的认知和理解，能够说明角的大小是通过比较两条边张开的程度来进行判断的，不需要考虑边的长度问题。在已有经验的基础上，对这一知识点再次进行巩固和深化。
变一变：把你的角变得和同桌一样大。
请学生交流，怎样使两个角一样大？
预设：顶点和顶点重合，两条边也重合，就能一样大。
活动1：请同学们把角变大
提问：在把角变大的时候，都是怎么做的？
学生交流。
明确：角的两条边张开得越大，角就越大。
活动2：把你们的活动角拿起来，会把它变小吗？
交流展示。
明确：角的两条边张开得越小，角就越小。
小结：角的大小和两条边张开的大小有关，两条边张开的越大，角就越大；角的两条边张开得越小，角就越小。
谈话：老师也想跟大家比比角的大小，我的小棒比大家长多了，做出的角是全班最大的角吗？
明确：角的大小和边的长短无关。
（设计意图：在创造角的环节中，孩子做出来的角大小不一，通过追问角的大小怎样看，让学生切实感受到角的大小和两条边张开的程度有关，让学生学习用数学语言表达角是怎样变大变小的以及角的大小与什么有关，与什么无关。）
练习巩固，学以致用
1.下面钟面上时针和分针形成的角，哪个最大？哪个最小？
说说你是怎样判断的？
预设：通过目测直接比较出大小，通过数格的方法比较大小。
补充：在这个问题里，我们用眼睛观察、用活动角去比较都能比出第3个钟面上的角最大，那它有多大呢？学生能通过钟面发现它有5大格那么大。用钟面上的信息说明白了角的大小。用这样的眼光，第1个钟上的角有多大？第2个钟面上的角呢？让学生一起回答。
学生发现第1个钟上的角有3大格那么大，第2个钟上的角有2大格那么大。……“比较”是小学数学学习中的一个核心概念，在比较中学生体验感知角是有大有小的。“大小”对角的定性描述，在之后的学习中，学生在比较中对角有了“直角”“锐角”“钝角”等定性判断，对角的认识，需要对角定性描述，也需要对角定量描述，以建立起“数学结构”的整体性认识。教师以问题“第3个钟面上的角最大，那它有多大呢？”把学生的思维引向更深处，当学生发现可以用“角有几个大格那么大”来描述角的大小时，成功播种下了角的度量的种子，更是发展着学生的量感。
2.一张长方形纸剪一刀剪去一个三角形后，剩下的部分有几个角？想一想、画一画。
（设计意图：学生在思考时可能会遗漏一些情况，因此要引导学生借助作图的方法，把所有的情况画出来，有序的思考降低问题的难度，开拓解决问题的思路，提高学生思维灵活性）
【课后反思】
本课在学生已经认识了长方形、正方形、三角形的基础上进行教学，低年级学生抽象思维发展得不够充分，常常依赖于生活经验，依赖于直觉观察而获得表象。所以要让学生初步认识角，必须采用学生喜爱的操作活动进行教学，如本课在活动设计时，通过找角、识角、辨角、画角、创造角、比角等形式多样的实践活动开展教学，把学生的各种感官利用起来，切实掌握本课重点内容，掌握角的相关知识。
在学生已有的生活经验中，角是一种尖尖的物体，比如羊角、牛角等，角是物品的边沿或突出部分，比如桌角、墙角等，角还是人民币的单位，比如2角、5角等。但这些来自生活中的体验与教学中角的概念有差异，甚至可以说毫无关联，所以在开始就要打破孩子原有的错误认知，角并不是一个点或一块面，引导学生学会正确的指角方式，初步感受角的本质，一个顶点和两条边。
接着让学生在辨析中不断丰富对角的认识，直面学生的最初经验，当学生误将顶点指认为角时，引导学生借助直观，和认知产生矛盾，主动认识到“这只是一个点，不是我想要的角”，明确数学概念和生活概念的区别。再通过“怎样才能正确地指出一个角呢？”这一问题，让学生主动修正，指出角的两条边，并且明确这两条边都是从这个点出发而引出来的，为学生后面正确把握角的概念，奠定了坚实基础。接着通过对生活素材中大量的角的指认，抽象出许多不同的角，这些角大小不小、位置不同、开口不一，观察对比探究角的共同特征，明确组成角的基本元素：一个顶点、两条边。再通过辨角、数角，进一步凸显角的构成元素，帮助学生建立正确、清晰的角的表象。
而角的大小与什么有关，与什么无关这部分内容的教学，旨在巩固并深化学生对角大小的认识。学生在例题教学中，得到角的“静态”体验，他们很可能片面地认为角是指一个点和两条线。为此，通过活动角的体验，让学生感知角是有大小的，它可以变大也可以变小。一静一动的体验，使学生头脑里角的表象有了更丰富的内涵。在引导学生通过不同方法比较角的大小时，通过几个有层次的操作比较，让学生直观地感知到比较角大小的方法，为学生后续学习打下基础。
